【中３数学三平方】直角三角形を２方面からとらえる練習問題

直角三角形を２方面からとらえる練習問題

線分ABを直径とする円Oがある。下の図のように、円周上に点Cをとる。点Cから線分AB上に垂線をひき、その交点をDとする。また、∠CABの二等分線と線分BC、線分CDとの交点をそれぞれ、点F、点Eとし、点Fから線分ABに垂線をひき、その交点をGとする

（1）CF＝GFになることを証明せよ。
（2）AB＝5ｃｍ、AC＝4ｃｍのとき、CDの長さを求めなさい。

（1）△ＡＣＦと△ＡＧＦにおいて
ＡＦ＝ＡＦ（共通）…①　
∠ＣＡＦ＝∠ＧＡＦ（仮定）…②　
∠ＡＣＦ＝∠ＡＧＦ＝90°…③
①②③より、直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ＡＣＦ≡△ＡＧＦ　対応する辺は等しいから、ＣＦ＝ＧＦとなる。

（2）直角三角形ABCを2方面からとらえる
△ＡＢＣに着目して、特別な直角三角形（3：4：5）より、ＢＣ＝3ｃｍとなる。
下の公式より、ＡＣ×ＣＢ＝ＡＢ＝ＣＤとなるので、
4×3＝5×ＣＤを解くことになり、ＣＤ＝ 12/5となる。

直角三角形を2方面からとらえる公式