高校入試の数学で毎年のように出題される「図形分野」は、苦手にしやすい単元ですが、パターンをおさえれば得点源になります。角度、面積、相似、円周角、三平方の定理など、よく出る問題パターンを中心に予想問題を厳選し、詳しい解答・解説付きでわかりやすくまとめました。入試本番で慌てないためにも、今のうちにしっかり対策しておきましょう！
数学の図形の予想問題（公立高校入試）
【平面図形編1】
線分ABを直径とする円Oがある。下の図のように、円周上に点Cをとる。点Cから線分AB上に垂線をひき、その交点をDとする。また、∠CABの二等分線と線分BC、線分CDとの交点をそれぞれ、点F、点Eとし、点Fから線分ABに垂線をひき、その交点をGとする
（1）CF＝GFになることを証明せよ。
（2）AB＝5ｃｍ、AC＝4ｃｍのとき、CDの長さを求めなさい。
【空間図形編1】
図1は、頂点をO,底面の円の中心をH,直径A,Bとする円すいである。また、図2は、図1の円すいに外から接する正三角錐O-XYZである。円すいの底面の円の半径が3、体積が18πのとき、次の問いに答えなさい。
（1）母線OAの長さを求めなさい。
（2）円すいの表面積を求めなさい。
（3）図1のように、母線OAの中点をPとし、線分PBとOHとの交点をQとする。PQの長さを求めなさい。
（4）正三角錐O-XYZの体積を求めなさい。
【平面図形の問題2】
図のように円Oの外の点Aから円Oに2本の接線を引き、その接点をそれぞれB,Cとします。線分OAと円の交点をDとします。またOB＝8ｃｍ、∠AOB＝60°とし、線分ABと線分ACのそれぞれに接する半径2の円Pがあります。次の問いに答えなさい。
（1）点Cを含まない弧BDの長さを求めなさい。
（2）線分OPの長さを求めなさい。
（3）斜線部分の面積を求めなさい。
【空間図形の問題2】
図のように、OA＝OB＝OC＝2、OA⊥OB、OB⊥OC、∠AOC＝120°の三角すいOABCがある。また、BD：DA＝BE：EC＝1：2となる点D、EをそれぞれAB、BC上にとる。
（1）DEの長さを求めなさい。
（2）三角すいOABCの体積を求めなさい。
（3）三角すいODBEの体積を求めなさい。
数学の図形の予想問題（公立高校入試）の解答
【平面図形編1】
（1）△ＡＣＦと△ＡＧＦにおいて
ＡＦ＝ＡＦ（共通）…①
∠ＣＡＦ＝∠ＧＡＦ（仮定）…②
∠ＡＣＦ＝∠ＡＧＦ＝90°…③
①②③より、直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ＡＣＦ≡△ＡＧＦ 対応する辺は等しいから、ＣＦ＝ＧＦとなる。
（2）直角三角形ABCを2方面からとらえる
△ＡＢＣに着目して、特別な直角三角形（3：4：5）より、ＢＣ＝3ｃｍとなる。
下の公式より、ＡＣ×ＣＢ＝ＡＢ＝ＣＤとなるので、
4×3＝5×ＣＤを解くことになり、ＣＤ＝ 12/5となる。
【空間図形編1】
（1）3√5
（2）9π+9√5π
（3）√13/2
（4）54√3
正三角形の内接円の半径の関係を利用する
【平面図形の問題2】
（1）8/3π
（2）12
（3）30√3ー12π
【空間図形の問題2】
（1）2√3/3
線分ＡＢは、△ＯＣＡに着目して、点Ｏから線分ＡＣに垂線を下ろし交点をＨとすると、△ＡＯＨは、特別な直角三角形（1：2：√3 ）となり、ＡＯ：ＡＨ＝
2：√3＝2：ＡＨなので、ＡＨ＝√3。ＡＣ＝2ＡＨなので、ＡＣ＝2√3。
△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ（2角相等より）なので、ＢＤ：ＢＡ＝ＤＥ：ＡＣから、1：3＝ＤＥ：2√3 ＤＥ＝2√3/3となる。
（2）2√3/3
（3）2√3/27
△ＡＢＣ：△ＤＢＥ＝3：1の相似なので、面積は、9：1となる。
よって、三角すいOABC：三角すいODBEの体積＝△ＡＢＣ：△ＤＢＥ＝9：1
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