【高校入試対策数学】折り返し図形と相似の融合問題

折り返し図形と相似の融合問題

下の図のような1辺の長さが30ｃｍの正三角形ＯＡＢにおいて、辺ＯＡ上に点Ｃ、辺ＯＢ上に点Ｄをとる。線分ＣＤを折り目として△ＯＣＤを折り返すと、頂点Ｏは辺ＡＢ上の点Ｅと重なる。ＯＣ＝21ｃｍ、ＢＥ＝6ｃｍのとき、次の問いに答えよ。

（1）△ＡＥＣ∽△ＢＤＥであることを証明せよ。
（2）線分ＤＥの長さを求めよ。

（1）△ＡＥＣと△ＢＤＥにおいて
∠ＣＡＥ＝∠ＥＢＤ＝60°…①　　
∠ＡＥＣ＝180°-（∠ＢＥＤ+∠ＤＥＣ）…②
∠ＢＤＥ＝180°-（∠ＢＥＤ+∠ＤＢＥ）…③　
ここで、∠ＤＥＣ＝∠ＤＢＥ＝60°なので
②③より、2組の角がそれぞれ等しい。　
よって、△ＡＥＣ∽△ＢＤＥ

（2）14ｃｍ

（1）より、△ＡＥＣ∽△ＢＤＥなので、図示より

ＣＥ：ＥＤ＝ＥＡ：ＤＢなので、21：ｘ＝24：（30-ｘ）　これを解くと、ｘ＝14となる。