【高校入試対策】数学の図形の発展問題(偏差値65突破の問題)です。
数学の図形の発展問題
【平面図形の問題】
図のように円Oの外の点Aから円Oに2本の接線を引き、その接点をそれぞれB,Cとします。線分OAと円の交点をDとします。またOB=8cm、∠AOB=60°とし、線分ABと線分ACのそれぞれに接する半径2の円Pがあります。次の問いに答えなさい。
(1)点Cを含まない弧BDの長さを求めなさい。
(2)線分OPの長さを求めなさい。
(3)斜線部分の面積を求めなさい。
【空間図形の問題】
図のように、OA=OB=OC=2、OA⊥OB、OB⊥OC、∠AOC=120°の三角すいOABCがある。また、BD:DA=BE:EC=1:2となる点D、EをそれぞれAB、BC上にとる。
(1)DEの長さを求めなさい。
(2)三角すいOABCの体積を求めなさい。
(3)三角すいODBEの体積を求めなさい。
数学の図形の発展問題の解答
【平面図形の問題】
(1)8/3π
おうぎ形の弧の長さ=直径×(中心角/360)
(2)12
特別な直角三角形よりAOの16cm。Pから線分ABに垂線をひき交点をH。△APH∽△AOBを地ようする。
(3)30√3ー12π
台形PHBO-(Pを含むおうぎ形+Oを含むおうぎ形)
【空間図形の問題】
(1)2√3/3
まず、線分ACを求め、△BDE∽△BCAの帽子型で線分DEを導くのがポイント。
線分ABは、△OCAに着目して、点Oから線分ACに垂線を下ろし交点をHとすると、△AOHは、特別な直角三角形(1:2:√3 )となり、AO:AH=
2:√3=2:AHなので、AH=√3。AC=2AHなので、AC=2√3。
△BDE∽△BCA(2角相等より)なので、BD:BA=DE:ACから、1:3=DE:2√3 DE=2√3/3となる。
垂線を下す決め手
(2)2√3/3
三角すいOABCの体積は、底面を△AOCにすると、高さは、線分OBとなる。
(3)2√3/27
高さが共通しているので、三角すいOABC:三角すいODBEの体積=△ABC:△DBE
△ABC:△DBE=3:1の相似なので、面積は、9:1となる。
よって、三角すいOABC:三角すいODBEの体積=△ABC:△DBE=9:1
△ABC:△DBE=3:1の相似なので、面積は、9:1となる。
よって、三角すいOABC:三角すいODBEの体積=△ABC:△DBE=9:1
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