中学2年の数学で登場する「三角形の合同の証明」は、定期テストでも入試でも頻出の重要単元です。基本の証明ができるようになったら、次は応用問題に挑戦してみましょう。応用問題では、補助線を引いたり、図形全体の関係を読み取ったりする力が問われます。この記事では、よく出る合同の証明パターンと、書き方のポイント、注意すべきミスをわかりやすく解説し、演習問題も紹介します。テスト対策や復習にぜひ活用してください!
三角形の合同の証明応用問題
△ABCで、辺AB、辺ACをそれぞれ1辺とする正三角形△ABD、△ACEを、△ABCの外側につくります。このとき、BE=DCであることを証明しなさい。
三角形の合同の証明応用問題の解答
△ABEと△ADCにおいて
△ABDは正三角形なので、AB=AD…①
△ACEは正三角形なので、AE=AC…①
正三角形の1つの内角は60°だから
∠EAB=60°+∠BAC…③
∠CAD=60°+∠BAC…④
③④より、∠EAB=∠CAD…⑤
∠EAB=60°+∠BAC…③
∠CAD=60°+∠BAC…④
③④より、∠EAB=∠CAD…⑤
①②⑤より
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABE≡△ADC
合同な図形では、対応する辺hの長さは等しいので
BE=DC
三角形の合同の証明|よく出るパターンと書き方のコツ
■ よく出る合同の条件パターン
三角形の合同を証明するには、次の 3つの条件のいずれか を満たしていることを示す必要があります。
- 3辺がそれぞれ等しい
- 2辺とその間の角がそれぞれ等しい
- 1辺とその両端の角がそれぞれ等しい
■ よく出る証明パターン
- 共通な辺・角を使う問題(例:△ABCと△CBDなどでBCが共通)
- 平行線の錯角・同位角を使う問題(図形の中に平行線がある)
- 垂直・直角三角形を使う問題(高さや直角記号がある)
- 二等辺三角形から角や辺が等しいことを導く問題
- 補助線を引いて対称性や合同条件を見つける問題
■ 証明の書き方のコツ
① 対応する頂点を正しく書く(例:△ABCと△DEF)
② 与えられた条件・共通な部分・角の性質などを根拠とする
③ 使う合同条件(辺角辺など)を明確に示す
④ 「よって、△○○≡△●●」で結論を明確にする
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